Mathe Frage

ohne jetzt nachgerechnet zu haben würde ich rein gefühlsmäsig sagen, die stäbe so stellen daß sie zum boden nen 45 grad winkel haben...!?

Hallo,

ich hoffe mal, ich darf Differentialgleichungen zu Lösung einsetzen, damit geht es recht elegant. Dann muss man nur eine Gleichung für das Volumen aufstellen und zur Findung des Maximums die erste Ableitung davon gleich Null setzen. Da die Pyramide eine quadratische Grundfläche hat, können Pythagoras oder trigonometrische Funktionen zur Lösung eingesetzt werden. Ich habe mich hier mal für Pythagoras entschieden.

Zur Bennenung:
a = Länge der vier Stäbe, die die schrägen Kanten der Pyramide bilden werden

b = Seitenlänge des Quadrates der Grundfläche

d = Diagonale des Grundflächenquadrates

h = Höhe der Pyramide

Am besten, Du zeichnest Dir eine Pyramide mit diesen Bezeichnungen, dann wird das Nachvollziehen der Lösung einfacher.

Noch zwei Anmerkungen:

"sqrt" steht für Wurzel

"^" steht für hoch


Das Volumen einer Pyramide ist:

V = 1/3 * G * h, wobei G die Grundfläche ist (1)

Bei einem Quadrat ist G = b * b = b^2 (2)

also

V = 1/3 * b^2 * h (3)

Da wir irgendwie die Länge a ins Spiel bringen müssen, bemühe ich Pythagoras:

Die Höhe h, die Seita a sowie die halbe Diagonale d (d/2) bilden ein rechtwinkliges Dreieck, wobei a die Hypothenuse ist:

a^2 = h^2 + (d/2)^2 (4)

Die Diagonale d und die beiden Seiten b der Grundfläche bilden ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck. Also:

d^2 = b^2 + b^2 = 2 * b^2 (5)

aus (5) folgt b^2 = 1/2 * d^2 (6)

aus (4) folgt d^2 = 4 * (a^2 - h^2) (7)

(6) und (7) ergeben

b^2 = 2 * (a^2 - h^2) (8)

Das setze ich in (3) ein:

V = 1/3 * 2 * (a^2 - h^2) * h = 2/3(a^2 * h - h^3) (9)

Jetzt habe ich V als Funktion von h, also V(h)

Die erste Ableitung nach h ist dann:

V'(h)= 2/3 * (a^2 - 3h^2) = 2/3a^2 - 2h^2 (10)

Setze ich das gleich Null, ergibt sich:

2/3a^2 - 2h^2 = 0 (11)

Daraus erhält man: h = a* 1/sqrt(3)

Also etwa h = a/1.732

Einsetzen in (8) liefert dann:

b = a * (2/sqrt(3))

Interessieren Dich die Winkel, muss man noch etwas Trigonometrie bemühen. Den Winkel zwischen der Seite a und der Grundfläche nenne ich mal alpha. Da a und h und die halbe Diagonale ja ein rechtwinkliges Dreieck bilden mit der Hypothenuse a, der Gegenkathede h und der Ankathede d/2 ist:

sin(alpha)= h/a

also:

sin(alpha) = 1/sqrt(3) = 1/1.732

Damit wäre alpha = 35.3°

Bitte nochmal nachrechnen, kann sein, dass ich irgendwo mal einen Rechenfehler gemacht habe. Der Lösungsweg stimmt zwraprinzipiell; es kann nur sein, dass sich der Wert ändern würde.

Ein anderer Lösungsweg wäre auch gewesen, gleich von Anfang an trigonometrische Funktionen zu benutzen und das Volumen als Funktion des Winkels zwischen Seite a und der Grundfläche auszudrücken, oder auch als Funktion des Winkels zwischen den Seiten a. Auch hier hätte man dann wieder die 1. Ableitung gebildet und auf Null gesetzt.


Cheers
Marcus

cool, dankeschön


sehr schön erklärt.

Macht weiter so im Forum...

ihr seid die besten und schnellsten

fuba schrieb:

cool, dankeschön :)

Bitteschön. Jetzt muss es nur noch richtig sein

sehr schön erklärt.

Restfragmente des Mathe-Leistungskurses vor gut 20 Jahren

Aber das soll nicht zu einer permanenten Einrichtung hier werden ...

Cheers
Marcus

Chapeau

Grüsse vom Bottroper

Finglas schrieb:

fuba schrieb: cool, dankeschön :) Bitteschön. Jetzt muss es nur noch richtig sein sehr schön erklärt. Restfragmente des Mathe-Leistungskurses vor gut 20 Jahren Aber das soll nicht zu einer permanenten Einrichtung hier werden ... Cheers Marcus

Vor 20 jahren *respekt*
ich bin gerade mitten drin und hätt das nivht so hinbekommen *Schäm*

Finglas schrieb:

Auch hier hätte man dann wieder die 1. Ableitung gebildet und auf Null gesetzt.

Um sicher zu gehen, dass es sich auch tatsächlich um ein lokales Maximum handelt, sollte man noch geklärt haben, dass die 2. Ableitung (V") ungleich 0 ist. (Mathe-LK von vor 10 Jahren...)

toto_el_bosse schrieb:

Finglas schrieb: Auch hier hätte man dann wieder die 1. Ableitung gebildet und auf Null gesetzt. Um sicher zu gehen, dass es sich auch tatsächlich um ein lokales Maximum handelt, sollte man noch geklärt haben, dass die 2. Ableitung (V") ungleich 0 ist. (Mathe-LK von vor 10 Jahren...)

Zugegebermaßen wäre das mathematisch die korrekte Vorgehensweise gewesen. Da es sich um eine kubische Funktion handelt, hätte man damit auch einen Sattelpunkt ausschließen können.

Da allerdings nur eine physikalisch sinnvolle Lösung herausgekommen ist, und ein Minimum des Volumens Null gewesen wäre - z.B. bei flachem Hinlegen, bin ich einfach von einem Maximum ausgegangen. Mathematisch korrekt hätte aber die Überprüfung wie von Dir vorgeschlagen stattfinden müssen.



Faszinierend, wie sich manche Dinge doch so fest ins Gedächtnis einbrennen können

Cheers
Marcus

Happy_Days_are_back_again schrieb:

Vor 20 jahren *respekt* ich bin gerade mitten drin und hätt das nivht so hinbekommen *Schäm*

Erstmal abwarten, ob es überhaupt richtig ist
Etwas selbstbewusst zu behaupten ist eine Sache, Recht zu haben etwas anderes

Cheers
Marcus

hi

also die Lösung sieht folgendermaßen aus:


wir haben eine Pyramide: Grundseite = a
Seitenlänge eines Stabes = s

daraus folgt, dass unser Ziel ist V=(a²*h)/3 = max

ah, ne nu seh ich dass wir heute was anderes gerechnet haben... und zwar wurde nach der Höhe gefragt, wenn V=max

naja, da kommt raus: h=(sqr(1/3)) *s = 0,577 * s

fuba schrieb:

hi also die Lösung sieht folgendermaßen aus: wir haben eine Pyramide: Grundseite = a Seitenlänge eines Stabes = s daraus folgt, dass unser Ziel ist V=(a²*h)/3 = max ah, ne nu seh ich dass wir heute was anderes gerechnet haben... und zwar wurde nach der Höhe gefragt, wenn V=max naja, da kommt raus: h=(sqr(1/3)) *s = 0,577 * s :)

*freu*
Dann habe ich tatsächlich richtig gelegen