Mathematikaufgabe Nr. 988

Niemals.

Weil h immer > 0 ist, egal wie oft man es halbiert.

*einfach*

Gruss
Jochen

Hi Jochen,

stimmt leider nicht. Obwohl das es erscheint, dass h immer größer 0 ist, hat die Funktion einen Grenzwert. Denke an die alte Geschichte mit der Schildkröte und dem Läufer.


Gruß
Klangschweber

der grenzwert ist 0, das stimmt schon--- das heisst aber auch, dass die der funktionswert niemals genau null wird, sondern immer ein unendlich kleines bisschen über null bleibt..... war mir schon immer trivial das ganze....

[spießermodus]
allerdings passen physikalisch gesehen die vorraussetzungen nicht, wenn du idealisierte bedingungen annimmst, also ohne reibung wie du oben geschrieben hast, springt der ball immer wieder auf h zurück.
wo bleibt bei dir die energie, die dem ball nach h/2 fehlt ?
[/spießermodus]

(oder sitzt da bei mir nen fehler? erwärmt sich der ball selber beim aufprall durch deformation?)

Hallo das_n,

dein Einwand stimmt natürlich mit der Energie. Ich habe das deshalb reingeschrieben, damit nicht Fragen nach dem Wetter oder sonstiges kommt. Bitte einfach so hinnehmen, das der Ball auf h/2 wieder zurückkommt.

Zu Jochen nochmal: Das Thema war Achilles und die Schildkröte. Scheinbares Paradoxon.

Nun rechnet mal endlich

Hallo,

wiso sollte h/(2*n) einen anderen Grenzwert als 0 haben?

mfg
Martin

angenommen, zum ueberwinden der strecke h wird die zeit t gebraucht braucht der ball beim ersten fallenlassen die zeit t, dann vom ersten aufprallen bis zum zweiten aufprallen wieder die zeit t (2* t/2), dann vom zweiten aufprall bis zum dritten aufprall dei zeit t/2 (2*t/4) etc.
also erhalten wir fuer die gesammtzeit t+2*(t/2+t/4+t/8+...+t/(2^n)), die gebraucht wird, um die höhe h/n=0 zu erhalten ... h/n=0 ist aber nur zu erreichen, wenn n gegen unendlich strebt oder h=0 ist. wenn h=0 ist, was der trivialen lösung entspräche, ist die zeit t=0 ...
wenn man jetzt aber n gegen unendlich streben lässt erhält man bei einer berechnung auf 30 stellen hinter dem komma ziemlich genau 3*t ...


edit: sorry, kleinen logikfehler verpennt ... 3*t musses sein, statt 2*t

Hallo,

du machst zwar den richtigen Ansatz über eine geometrische Reihe, aber dein Ergebnis ist keine Lösung!

Das Ergebnis muß eine Funktion der Art f(h) = t sein.

Gruß
Klangschweber

Hallo,

Die Frage ist so nicht zu lösen. Hierzu fehlen wichtige Informationen. Es müssen mehr Faktoren bekannt sein.


Berechnen könnte man Bspw. die Geschwindigkeit v bei einer best. Höhe:


Nehmen wir einmal an, die ganze Geschichte spielt sich auf der Erde ab. Dann gilt: g= 9,81 m/s^2 ( vereinfacht zum rechnen *g* 10 m/s^2 )

Der Ball hat in der Ausgangslage nur Lageenergie, die sich wie folgt berrechnet:

E Lage = m * g * h

Anschließend sollte die Höhe bekannt sein, die Masse spielt keine Rolle, da sich diese im Verlauf wegkürzt.

Fällt der Ball nun, wird Lageenergie beim Fallen umgewandelt in kinetische Energie( Bewegungsenergie ).

Es gilt der Energieerhaltungssatz: ( Sinngemäß ) Die Enerige des Systems bleibt immer gleich, es geht keine Enerige verloren, sonder es wird nur umgewandelt.

Dadurch lässt sich sagen:

E Lage = E kin

m *g * h = (m * v^2 ) / 2

Durch kürzen fällt die Masse weg. Bei senkrechten Fallbewegungen ohne Berücksichtigung des Luftwiederstandes etc. spielt die Masse nie eine Rolle.

Damit bleibt übrig:

Wurzel-->( 2gh ) = v

Die Einheit v ist m/s

Somit kannst du die Geschwindigkeit an jedem beliebigen Punkt ( jeder Höhe beim senkrechten Wurf - der Schiefe ist komplizierter, hier muss in x und Y Richtung zerlegt und berechnet werden- in dem Fall aber nur "nice to know" )


Zur Berechnung deiner Fragestellung sollte z.b. Folgendes bekannt sein:

Höhe h, Die Gravitation g und die Federkonstante d des Balles. ( evtl. noch eine Startgeschwindigkeit, würde die Sache aber noch komplizierter machen... )
Wichtig ist hierzu, das man davon ausgeht, das sich der Ball "linear" spannt ( komprimiert ) und wieder entläd...


Dann sähe der Lösungsweg allerdings anders aus. Aber es ist machbar

[OT]
Ich kann mich noch erinnern, wie wir im Physikunterricht berechnet haben, wie stark sich Gerda ( imaginäre Person unter der Annahme das sie auf 100 % Wasser anstatt über 80 % in der Realität ) beim Aufprall auf den Boden aus 10 m Höhe erwärmt...

Ach das waren noch Zeiten... *g*
[/OT]

Mfg

Hallo,

schade das so wenig Resonanz kommt, ich stelle euch meine Lösung deshalb vor:

Es gilt in Abhängigkeit von g und t der Weg:

s=h=1/2 * g * t²

umgeformt nach t=sqrt(2h/g)

dazu kommt die Zeit t' , die der Ball auf h' = 1/2*h zurückkommt:

t' = sqrt(2h'/g) = sqrt(2h/g * 1/2)

Somit dauert die Zeit es t0 = t + t'

t0 = sqrt(2h/g) + sqrt(2h/g * 1/2) (Formel 1)

Nun gilt analog für die nächste Zeit t1, das der Ball wieder auf den Boden und h/4 zurückspringt (in der Formel 1 h durch 1/2 *h ersetzen)

t1 = sqrt(2h/g * 1/2) + sqrt(2h/g * 1/2 * 1/2)

Offentsichtlich gilt

ti = sqrt(2h/g * (1/2)^i) + sqrt(h/g * (1/2)^i) (Formel 2)

tgesamt = Sigma(ti) (i=0 bis unendlich)

Nun ist ein wenig Termumformung angesagt, um Formel 2 zu vereinfachen. Wenn ich keine Fehler gemacht habe, komme ich auf:

tgesamt = sqrt(h/g) * ((sqrt(2)+1)) * Sigma( (1/sqrt(2))^i )

Letztere Summe ist eine geometrische Reihe mit q=1/sqrt(2)

Das Ergebnis ist ja 1/(1-q) als Ergebis der unendlichen geometrischen Reihe mit |q| < 1

Daraus folgt das Ergebnis der Aufgabe:

tgesamt = sqrt(h/g) * ((sqrt(2)+1)) * (1/(1-1/sqrt(2)))

tgesamt = sqrt(h/g) * 8,2426 (annäherung)

Gruß
Klangschweber