Thiele & Small Parameter : analytische Herleitung der Drei-PunkteMessung : Frage für Experten

Hallo,

habe vor einiger Zeit mit Lautsprechern angefangen, d.h. mich auch für die elektrisch-mechanischen Modelle interessiert. Im Prinzip sind mir diese klar und analytisch nachvollziehbar, auch der besondere Dreh bei den Thiele-Small Parametern. Lineare Theorie eben. Aber: ich komme einfach nicht darauf, wie man mit der üblichen, traditionellen Dreipunkte-Messung der Impedanzkurve mathematisch exakt (also analytisch, nicht numerisch) Rm, Qms und Qes bestimmt. Sicher kann man mit Gewalt drei Gleichungen aufsetzen und dann so lange Seiten vollschreiben, bis man es hat, bzw. symbolische Mathematiksoftware orgeln lassen. Ich meine aber, dass es da eine elegante Abkürzung gibt, die ich einfach gerne wüsste. Ich sehe sie einfach nicht, aber die Hinweise (-3 dB Punkt, geometrisches Mittel) sind ja sehr deutlich. Man erhält für die komplexe Impedanz mit normierter Frequenz W:

Z(W)=Re(1+jW/Qes/(1-W**2+jW/Qms))

Sieht einfach aus, aber mit der Brechstange verstrickt man sich schnell in Gleichungen 4ter Ordnung ...

Wenn man das gegebene lineare Modell annimmt, so stimmt die Dreipunktemethode bei verschiedenen angenommenen Parameterlagen numerisch exakt (im Rahmen der Fließkommagenauigkeit). Ich möchte aber diesen letzten Dreh auch noch analytisch verstehen.

Zum Hintergrund meiner Frage, bzw. zur Klarstellung, vielleicht kann auch jemand sonst Nutzen aus der Fragestellung ziehen, es scheint ja vielen nicht klar zu sein, wie das mit der Messung oder TSP überhaupt ist:
Die Beschreibung eines dynamischen Chassis als Masse-Feder-Dämpfungssystem mit elektrischem Antrieb mit Spulenwiederstand Re und vielleicht Spuleninduktivität Le ist schon uralt, ich habe ein Buch von << 1960 dazu. Die Parameter wären: M, D, K, Bl, Re, Le. Diese Beschreibungen haben aber einen Nachteil: die mechanischen Parameter Masse: M, Dämpfung: D und Federkonstante: K erscheinen an den Klemmen transformiert, mit dem Antriebsfaktor (Bl)**2, bzw. dessen Kehrwert. D.h.: ohne zusätzliche Messung auf der mechanischen Seite kommt man überhaupt nicht weiter. Das äquivalente Schaltbild enthält tatsächlich einen idealen Transformator mit diesem Impedanzübersetzungsverhältnis, bzw. einen Gyrator, wenn man die andere mögliche mechanisch-elektrische Analogie wählt. Ich mag den Transformator lieber, egal, alles mathematisch äquivalent. Der Witz von T&S ist nun, neue Parameter Qms und Qes zu erfinden, (der Parametersatz ist dann Qms, Qes, Vas, Re, Le, Fr), die insofern von (Bl)**2 (Quadrat) unabhängig sind, als dass man sie ohne weiteres aus der elektrischen Impedanzmessung ermitteln kann. Dafür "konzentriert sich der mechanische Einfluss" ganz auf den neuen Parameter Vas, bei dessen Bestimmung wir ja wegen der Mechanik so viel "Freude" haben. Das Problem wird mathematisch völlig äquivalent, also geschickt umgeformt, so dass die rein elektrische Impedanzmessung schon sehr weitreichend ist. Die Herleitung dazu ist nicht schwer, wenn man mit Differentialgleichungen im Zeit- und Frequenzbereich umgehen kann und die Begriffsbildung des Gütefaktors "Q" bei einem Bandpass, dessen Pol-Nullstellen-Diagram und Laplace-Transformierten einmal verstanden hat. Lineare Standardtheorie eben. Das Tolle ist nun, dass Qes und Qms nicht nur rechnerisch praktisch sind, sondern als reine Zahlenwerte auch noch physikalisch interpretierbar sind. Qes ist der Anteil der Gesamtgüte, der mit der elektrischen Dämpfung, Qms der Anteil, der mit der mechanischen Dämpfung zusammenhängt. Mit etwas Erfahrung kann man also sagen, mit was einem Typ von Chassis man es zu tun hat. Die originalen T&S-Parameter hatten den Zweck, die Hauptresonanz des Chassis mit/ohne Box zu untersuchen. Das verwendete Lautsprechermodell ist dazu sehr stark vereinfacht, die akustische Strahlungsbelastung (die ist das Ziel eines Lautsprechers überhaupt!) fehlt z. B. völlig. Der Zweck wird aber erreicht.
Heute, mit leistungsfähiger Messtechnik und beliebiger Rechenleistung sind die alten Methoden obsolet. Man macht besser ein Fitting des Modells an die gesamte Impedanzkurve, als eine Dreipunktemessung. (Um mindestens eine mechanische oder akustische Messung kommt man natürlich auch dabei nicht herum). Trotzdem lohnt sich das alte Wissen, weil aus der Herleitung auch noch ein tieferer Sinn, bzw. eine Interpretation der Parameter erkenntlich wird. Darum geht es.

Gruß
hb