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Shannonsches Abtasttheorem

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Autor
Beitrag
DschingisCane
Stammgast
#1 erstellt: 12. Jan 2004, 17:54
Hi, ich wende mich mal wieder vertrauensvoll an euch...

Es ist so das wir in der Schule mit dem Shannonschen Abtasttheorem (s.u. Erklärung von:http://www.net-lexikon.de/Nyquist-Shannon-Abtasttheorem.html)
befassen,
leider ist es uns noch nicht gelungen zu klären warum die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch sein muss bzw. ja z.B. bei der CD auch genau so gewählt wurde.

Vielleicht könnt ihr mir diese Frage ja beantworten.

Vielen Dank schon mal im voraus.

MFG Konsti



Nyquist-Shannon Abtasttheorem
(Definition, Bedeutung, Erklärung im Lexikon)

Das Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches Signal mit einer Maximalfrequenz fmax mit einer Frequenz mindestens 2×fmax abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust wieder rekonstruieren kann.

Dabei muss aber beachtet werden, dass mit Hilfe der Fourier-Analyse die in einem Signal befindliche höchste Frequenz festgestellt werden muss und dann zwecks Digitalisierung mit der doppelten Frequenz dieser abgetastet werden muss. Eventuell enthaltene Signalanteile mit einer Frequenz größer der Hälfte der Abtastfrequenz müssen vor der Digitalisierung mit einem Tiefpass-Filter aus dem Signal herausgefiltert werden, da es sonst zu Artefakten kommt.

Diese Artefakte sind genauer gesagt Alias-Signale (Pseudosignale) die sich als störende Frequenz bemerkbar machen. Wird zum Beispiel ein 1600 Hz Signal mit 2000 Hz digitalisiert, erhält man ein 400 Hz Alias-Signal (2000 Hz minus 1600 Hz). Bei der Digitalisierung mit 3200 Hz entsteht dagegen kein Alias-Signal.

Alias-Signale treten unter anderem beim Scannen von Vorlagen mit wechselnden Ortsfrequenzen auf, man spricht dann von einem Moiré. (z.B. Kleidungsstücke wie Wollpullis oder Anzüge mit dünnen Streifen, auch Ziegeldächer etc.) Oft sind Moirés auch im Fernsehen zu sehen, wenn Moderatoren Nadelstreifenanzüge tragen.

Zu mathematischen Grundlagen siehe: Fourier-Transformation

Das Nyquist-Shannon Abtasttheorem findet bei jeder Digitalisierung Anwendung und ist auch als Shannonsches Abtasttheorem bekannt.


[Beitrag von DschingisCane am 12. Jan 2004, 17:55 bearbeitet]
cr
Moderator
#2 erstellt: 12. Jan 2004, 19:33
Wenn ich meine Diplomarbeit bei der Hand hätte, könnte ich dir die gesamte mathematische Beweiskette liefern. Aber auswendig weiss ich es leider nicht mehr.
Also mußt du entweder warten, bis ich sie habe (ca 2 Wochen), oder es liefert wer anderer die Argumente.
DschingisCane
Stammgast
#3 erstellt: 13. Jan 2004, 14:48
Hey cr , schonmal danke für das Angebot... gerne angenommen!
Auf die 2 Wochen kommts auch nicht mehr an, also wäre super nett wenn du dir da mal drum bemühen könntest.

Was war den das Thema deiner Diplomarbeit wenn man fragen darf ?

Würde mich über andere Beiträge natürlich auch freuen.

MFG
Konsti


[Beitrag von DschingisCane am 13. Jan 2004, 14:48 bearbeitet]
cr
Moderator
#4 erstellt: 13. Jan 2004, 15:55
Hab dir eine PM geschickt wegen Adresse
jakob
Hat sich gelöscht
#5 erstellt: 13. Jan 2004, 18:41
Hallo DschingisCane,

zur Allgemeingültigkeit muß die Abtastfrequenz !größer! sein als das Doppelte der höchsten vorkommenden Signalfrequenz.

Du kannst es Dir vielleicht am einfachsten durch ein grafisches Beispiel verdeutlichen:

Zeichne eine Sinuskurve (f=1kHz, Periode 1ms) beginnend im Nullpunkt,
füge dann die Abtastpunkte hinzu (beginnend mit einer Abtastfrequenz von (fs=2kHz) ebenfalls beginnend im Nullpunkt,

(Die Abtastwerte müssen eindeutig sein, d.h. zu einer Folge von Abtastwerten darf es nur genau eine Funktion geben, die durch diese Abtastpunkte hindurch verläuft)

Der nächste Schritt wäre, die Abtastfrequenz zu verkleinern, (fs=1.5 kHz), die Abtastpunkte mittels einer Sinusfunktion verbinden und die Frequenz dieser resultierenden mit dem Originalsignal vergleichen.

Gruss
DschingisCane
Stammgast
#6 erstellt: 13. Jan 2004, 18:47
Hi jakob danke für den Beitrag werds mal ausprobieren.

@cr hab Dir die Adresse per PM gesendet.
Auf jeden Fall vielen Dank für dein Bemühen.

MFG Konsti
jakob
Hat sich gelöscht
#7 erstellt: 13. Jan 2004, 19:00
Hallo DschingisCane,

was noch auffällt, die Lexikonerklärung ist in diesem Punkt falsch, es reicht (ohne Nennung weiterer Randbedingungen) nicht aus, daß fabtast = 2 * fsignalmax ist.
(wird klar, wenn Du das oben genannte Beispiel probierst)

Ansonsten steht ein gutes Beispiel schon drin, was passiert, wenn die Abtastfrequenz nicht hoch genug ist. Nur klarer wird einem das, wenn man es (per Computer, oder per Hand) tatsächlich mal aufgezeichnet hat.

Gruss
H.
Hat sich gelöscht
#8 erstellt: 13. Jan 2004, 19:27
Hallo DschingisCane,

Du kannst Dir Jakobs Erklärung auch so vorstellen,
dass bei einer unendlich langen Sinuswelle
der Abstand der Abtastpunkte kleiner als
der Abstand der Nullstellen sein muss,
damit alle Kurvenwerte
messbar sind.
2f_max < f_s
Gruss, H.


[Beitrag von H. am 13. Jan 2004, 19:51 bearbeitet]
DschingisCane
Stammgast
#9 erstellt: 13. Jan 2004, 20:36
Nabend,
wie immer Verlass auf das Forum,mit so viel Resonanz hätte ich (zumindest in so kurzer Zeit) nicht gerechnet.

Bis jetzt schon mal allen vielen Dank und immer fleißig weiter mit den Antworten .


schönen Abend,
Konsti


[Beitrag von DschingisCane am 13. Jan 2004, 20:38 bearbeitet]
TBuktu
Ist häufiger hier
#10 erstellt: 13. Jan 2004, 23:28
Ist schon komisch, dass das immer noch so angenommen wird.

In der Messtechnik würde kein Mensch auf die Idee kommen, nur 2 Werte pro T zu nehmen.

Warum ? --- Weil die Amplitudeninformation verloren geht.

Minimum sind 5, besser 10 Werte. So kann man die originale Schwingung interpoliert wiedergewinnen (Rekonstruktionsfilter).

Gruss
Tim
cr
Moderator
#11 erstellt: 13. Jan 2004, 23:48

Ist schon komisch, dass das immer noch so angenommen wird.

Das Shannonsche Abtasttheorem besagt aber nun mal, dass 2 Meßwerte genügen (Samplingfrequenz > 2*höchste abzutastende Nutzfrequenz).
Dies ist mathematisch einwandfrei zu beweisen und funktioniert ja auch in der Praxis.
Leider wird das immer mißverstanden, weil sich niemand mit dem Shannonschen Satz auseinandersetzen will (ist halt Mathematik, wer mag so was schon ). Stattdessen wird dann gerne herumphilosophiert, dass das nicht gehen kann, weil dann der Sinus eckig, ausgefranst oder sonst was wird.
Leider haben auch viele HiFi-Journalisten das nicht verstanden.
Also nochmals:
Mit einer Abtastfrequenz, die die höchste abzutastende Nutzfrequenz um den Faktor 2 übersteigt, läßt sich das Nutzsignal OHNE den geringsten Verlust wiederherstellen.


Warum ? --- Weil die Amplitudeninformation verloren geht.

Genau das ist eben falsch.


Minimum sind 5, besser 10 Werte. So kann man die originale Schwingung interpoliert wiedergewinnen

Das ist hochgradig redundant (die CD ist der beste Beweis: Ein 20kHz-Ton wird exakt wiedergegeben, bis auf Fehler, die durch die Quantisierung entstehen, diese hat aber nichts mit der Anzahl der Meßpunkte zu tun)
TBuktu
Ist häufiger hier
#12 erstellt: 14. Jan 2004, 00:24
Wenn die höchste Frequenz als Bspl. 20kHz beträgt, dann ist sie eben nicht eckig oder sonstwas sondern ein reiner Sinus.
Das MUSS durch entsprechende Filter sichergestellt sein.
Aliasing wurde aber oben schon erklärt.
Wo die beiden Abtastwerte diese Sinusschwingung treffen ist Zufall.
Jetzt haben wir also einen Rechteck mit zufälliger Amplitude (aus den 2 Weren).
Durch das Rekonstruktionsfilter wird aus dem Rechteck wieder ein Sinus...mit zufälliger Amplitude.
(Ich habe jetzt nur eine Periode betrachtet)
Bei einem kontinuierlichen Signal wird man immer mehr Werte sammeln können, aber in der Praxis (egal ob Messtechnik oder Musik) hat man wohl eher selten ein konstantes Signal.


Gruss
Tim
tjobbe
Inventar
#13 erstellt: 14. Jan 2004, 00:38
also ehrlich.. ich hab mir doch tatsächlich mal mein altes Lehrbuch (H.D.Lüke Signalverarbeitung), rausgeholt und mir die ganze herleitung nochmal angeschaut...

1) jedes analoge Signal läßt sich als eine Überlagerung von Sinussignalen(f) darstellen wenn man annimmt das der Frequenzbereich -unendlich bis +unendlich annimmt (Stichwort Fouriertransformation)

2)Ein idealer Abtaster läßt sich als folge von "Diracstößen" darstellen (Sprich die dauer des Abtastvorganges geht gegen Null)

3) aus einem so gewonnenen Frequenz-Spektrum, das Bandpassbegrenzt ist (also eine Grenzfrequenz fg besitzt) , das nach der Abtastung entstanden ist, kann ich nach wieder durch Rücktransformation eine periodische Signalfolge erzeugen (das geht immer !).. das periodischeentsteht aufgrund der eigenschaften der Fouriertransformation. Die Periode (also die Frequenz)entspricht 1/T (T=abtastzeitpunkt)

-> Um das jetzt das orginale Signal wieder herzustellen (beachte das oben in 1. -fg bis +fg angeben ist) muß jetzt T=1/2fg oder T<1/2fg ... oder eben fg=2T

das in sehr verkürzter Form...

Cheers, Tjobbe

P.S. wußte garnicht das man das so schnell vergessen kann


[Beitrag von tjobbe am 14. Jan 2004, 01:11 bearbeitet]
cr
Moderator
#14 erstellt: 14. Jan 2004, 00:38
@TBuktu
Du machst einen grundlegenden Fehler:
Shannon spricht von Omega/2-bandbegrenzten Funktionen.
Ein Rechtecksignal ist nicht bandbegrenzt (ein zeitbegrenztes Signal KANN NICHT bandbegrenzt sein, auch ein mathematischer Satz).
Ein periodoisches Rechteck-Signal ist eine abzählbar unendliche Reihe von Sinussignalen (abfallende Summe der n-fachen Rechteck-Grundfrequenz)
Beim Aufnehmen einer CD werden jedoch ALLE Signale >22 kHz auf ein Minimum reduziert (was übrig bleibt führt zu Aliasing), das heißt nach Fourier bleiben im Idealfall nur Sinusse < 22 kHz übrig, und das kannst du eben mathematisch VERLUSTFREI mit 44.1 kHz sampeln. Wenn du DASSELBE 22kHz-begrenzte Signal mit 88.2 sampelst, wird es um NICHTS besser, es bleibt exakt dasselbe!
Das ist das Entscheidende!


[Beitrag von cr am 14. Jan 2004, 00:43 bearbeitet]
tjobbe
Inventar
#15 erstellt: 14. Jan 2004, 00:43
achso.. eines noch ... im Lehrbuch wird expliziet darauf hingewiesen, das diese Geschichte so theoretisch gilt und beweisbar ist, aber in realen Systemen zwar auch funktioniert aber eben "Schmiereffekte" aufweist...

Cheers, Tjobbe
cr
Moderator
#16 erstellt: 14. Jan 2004, 01:56
Was sollen Schmiereffekte sein?
In der Realität gibt es folgende Probleme:

Jitter: unexakter Samplingzeitpunkt
Aliasing: Frequenzen oberhalb Omega/2 (22.05 kHz), erscheinen dann als andere (gespiegelte) Frequenzen
Phasenverschiebungen: durch steilflanken bandbegrenzenden Filter
Ringing: Vor- und Nachschwinger bei der Signalrekonstruktion
Quantisierungsfehler

Die Größe dieser Fehler wird vom technischen Aufwand bestimmt, ändern aber nichts an der Richtigkeit von Shannon.
Mit hochwertigen Wandlern und Filtern (vor allem aufnahmeseitig) sind inzwischen diese Fehler sehr klein.
tjobbe
Inventar
#17 erstellt: 14. Jan 2004, 09:14
die Schmiereffekte treten lt. Lüke dadurch auf, das die Abtastungen keine reinen Diracstöße sind sondern real, sprich eine Dauer haben und dadurch die idealisierte rücktransformation ungenau machen.. sprich für die Frequenzen die gegen Fg gehen wird das überlappen der weiteren Perioden nicht 100% sauber trennbar und du erhälst bei der Bandpassfilterung bestandteile der jeweils benachbarten Perioden des zu filternden Signales in der nähe der Grenzfrequenz...

Es ist im Grunde ein Problem das durch die realisierung einer Schaltung hervorgerufen wird.

Cheers, Tjobbe

EDIT: aber auch hier im Lehrbuch wird auf diese "Auswirkungen" nicht weiter eingegangen (der HInweis erfolgt auhc eher verschämt am Rande ) , sondern lediglich die Theorie betrachtet....(was leider oft von auch hier im Forum beim Zitieren von therotischen weisheiten ignoriert wird... , sorry aber konnte mir den nicht verkneifen)


[Beitrag von tjobbe am 14. Jan 2004, 09:17 bearbeitet]
cr
Moderator
#18 erstellt: 14. Jan 2004, 09:22
Müßte dann eigenlich der Abtast- und Wiedergabe-Jitter sein.
tjobbe
Inventar
#19 erstellt: 14. Jan 2004, 09:39
@CR: unter Jitter verstehe ich nur die Varianz des Zeitpunktes der Abtastung (bzw aller weiterer Zeitabhängiger prozesse)...

was ich jetzt verstanden habe (man das ist 15Jahre her seit ich mit das letzte Mal damit beschäftig habe ) geht es hier darum das das "Abtasten" real geschieht, also auch die Faltung des Diracstoßes eben auch nur näherungsweise genau ist und dadurch im resultierenden Frequenzspectrum eine Überlappung der Signale der perioden -1 und +1 an den Frequenzrändern ergeben, die eben nicht mehr zu einer sauberen Heraustrennung eines einzelnen Signales durch den entsprechenden Bandpass führen....
jakob
Hat sich gelöscht
#20 erstellt: 14. Jan 2004, 09:53
Hi cr,

tjobbe hat schon recht; allerdings sind die Auswirkungen auch bei noch so hohem technischem Aufwand nicht vermeidbar.

Das bei der Abtastung und Wiedergabe keine Dirac-Stöße (weil wirklich schwer zu erzeugen ) verwendet werden, hat eine überlagerte Amplitudengewichtung zur Folge. Diese Auswirkungen lassen sich durch Annäherung (sprich technischen Fortschritt) an den Dirac-Stoß verkleinern.

Die grundsätzliche Schwierigkeit liegt darin, daß man in der Realität nicht mit unendlichen Funktionen arbeiten kann.
Das Gibbsche Phänomen läßt sich somit nicht beseitigen.

Ebenso gibt es deswegen keine idealen Tiefpässe, weswegen btw, soweit ich mich erinnere, das CD-Format nur bis 20kHz spezifiziert ist, um die Anforderungen an die Tiefpässe etwas zu entschärfen. Der Abstand von Nutz- zu Störband beträgt damit immerhin 4.1 kHz.

Gruss
TBuktu
Ist häufiger hier
#21 erstellt: 14. Jan 2004, 14:44
Ob nun Fourier oder Laplace...:D

Hier wäre ein schöner Übergang zur Diskussion bezüglich der enormen Wichtigkeit einer richtigen Fensterung bei der FFT, bzw. was eine FFT überhaupt leisten kann.

Also ich fasse mal meine Meinung zusammen:
Die höchste Frequenz, die verarbeitet werden soll muss in Sinusform anliegen, sonst isses nämlich nicht die höchste Frequenz.
Man kann eine Samplingrate nicht als Filter verwenden.
Also wenn ich ein unbekanntes Signal mit 100kHz sample, dann ist das nicht so, als hätte ich einen tollen Filter, der bis 50kHz geht. Es muss vorher dafür gesorgt werden, dass nur Signale bis 50kHz anliegen. Ein 50kHz Signal in Rechteckform erfüllt das natürlich nicht
Wenn ich frei wählen könnte, an welcher Stelle des Sinus ich meine Samples nehme (Maximum), dann könnte ich das Signal über Rekonstruktionsfilter wieder herstellen (das ist die Theorie)
In der Praxis habe ich diese Möglichkeit nicht, weswegen ich eben mit meiner Abtastrate entsprechend höher gehen muss.

Das ist aber mehr ein Thema der allgemeinen Messtechnik.
Shannon ist ja nicht falsch, findet aber in der mir bekannten Praxis (Schwingungsmessung an Triebwerken, Automobiltechnik, etc.) keine Verwendung.



Gruss
Tim
jakob
Hat sich gelöscht
#22 erstellt: 14. Jan 2004, 15:24
Hi Tbuktu,

Shannon wird schon überall berücksichtigt, aber es gibt unterschiedliche Anwendungsfälle.

Bei der CD-Technik sind die Randbedingungen bekannt, d.h. es muß bei der Aufnahme gefiltert werden (mit möglichst hoher Flankensteilheit) sodaß ab 22.05 kHz eben keine Signalanteile mehr vorhanden sind.
Anfangs wurden diese Antialising-Filter direkt vor dem A/D-Wandler eingesetzt, heute sind die Anforderungen an dieser Stelle nicht mehr so hoch, da Oversampling bei der A/D-Wandlung eingesetzt wird, und somit gutmütigere Filter ausreichen, und ein Großteil per Digitalfilterung erledigt werden kann.

Es ist zur Rekonstruktion absolut nicht notwendig, immer das Maximum abgetastet zu haben. Die Rekonstruktion gelingt trotzdem auch bei hohen Frequenzen im Rahmen der durch die Quantisierung vorgegebenen Genauigkeit.

Insofern ist Deine Meinung richtig, aber Du zäumst das Pferd quasi von hinten auf.
Bei der Entwicklung des CD-Formates wurde die Abtastrate auf 44.1 kHz festgelegt (mehr wäre zu der Zeit auch nicht mit vertretbarem Aufwand realisierbar gewesen, bzw. hätte andere CD-Abmessungen zur Folge gehabt etc.) und damit wußten alle, wie die Antialising-Filter auszulegen waren.
Der Frequenzbereich wurde auf 20 kHz begrenzt und, völlig richtig, daraus folgt, daß das höchste vorkommende Signal ein 20 kHz-Sinus ist.

Gruss
Metallhuhn
Ist häufiger hier
#23 erstellt: 22. Feb 2004, 17:53
schaut euch mal das an: mit Video

http://timms.uni-tuebingen.de/jtimms/servlet/list02servlet0?clist=2199$1458.0
musiktheili
Schaut ab und zu mal vorbei
#24 erstellt: 03. Mrz 2004, 17:39
Jetzt gebe ich meinen Senf auch noch dazu. Richtig ist, daß wir bei Shannon nur Sinussignale als größte Frequenz haben dürfen. Der Grund für mindestens doppelte Abtastung ist einfach, da wir für die Reproduktion einer Sinuskurve (muß sinus sein ) zwei Werte brauchen. Dann passt in die zwei Werte bei gegebener Freuqunz nur eine bestimmte Sinuskurve. Für das Schmieren sind auch noch andere Gründe verantwortlich. Es kommt immer wieder zu Reflexeionen des Signals z.B. an einem Abschlußwiderstand. Um diese Reflexionen dann herausfiltern zu können wendet man die verschärfte Shannon Regel mit mind. 5facher Abtastfrequenz an.
cr
Moderator
#25 erstellt: 03. Mrz 2004, 18:22
Nach deinen Ausführungen würden die CDs somit nur bis 8 kHz reichen.
PS: Es genügt oBdA immer, nur Sinusse zu betrachten, weil eben jedes Musiksignal nur eine endliche Summe aus Sinussen ist.
Wilhelm_O
Neuling
#26 erstellt: 30. Sep 2004, 11:19
Das Abtasttheorem ist mathematisch "bewiesen" und trotzdem Blödsinn. Jeder Fachmann weiß, dass anstelle der Kleiner-als-1/2-Regel die 1/3-Regel gilt:
Die höchste im Signal vorkommende Frequenz sollte nicht wesentlich größer als 1/3 der Abtastfrequenz sein, wenn das Signal einigermaßen anständig übertragen werden soll.
Beispiele sind:
1. Der Kell-Faktor (Die Bandbreite des Fersehsignals ist nur 2/3 der Frequenz, die sich ergeben würde, wenn man aus der Zeilenzahl die Anzahl der Punkte in der Zeile und aus dieser die zu übertragende Frequenz berechnen würde).
2. Die Bandbreite der Farbdifferenzsignale beträgt 1,5 MHz, der Farbträger liegt etwa bei der dreifachen Frequenz.
3. Die Abtastfrequenz beim digitalen Fernsehen mit 702/720 Bildpunkten pro Zeile liegt bei 13,5 MHz und ist somit dreimal so hoch wie die Farbträgerfrequenz.
sephi
Ist häufiger hier
#27 erstellt: 25. Jan 2005, 20:37
nur mal als Frage an euch...bekomme hier eine Aufgabe nicht geloest... angegeben war eine Tri puls im F-breich.
TRI((W-5W0)/W0)+TRI((W+5W0)/W0)
nu wird diesse im F-bereich mit fa=4W0/2pi abgetastet...und ich soll die abgetastete signal im -8W0<w<8W0 (also auch F-Bereich) zeichnen....und ich habe irgendwie die Abtasstung im F-breich nicht kapiert...die Loesung verstehe ich nicht,(da zu grob erklaert) warum die Abgetastete signale um 1/Ta gestaucht sein muss???

W0: Omega null
W: omega
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